Задача 13 ЕГЭ — разбор без пропущенных шагов

Для первого выражения получаем:
sin(π/3 + x) = sin(π/3)·cosx + cos(π/3)·sinx
Для второго выражения получаем:
cos(π/6 − x) = cos(π/6)·cosx + sin(π/6)·sinx
Теперь вспоминаем значения тригонометрических функций для стандартных углов:
sin(π/3) = √3/2
cos(π/3) = 1/2
cos(π/6) = √3/2
sin(π/6) = 1/2
Подставляем эти значения в наши формулы.
Тогда:
sin(π/3 + x) = √3/2·cosx + 1/2·sinx
cos(π/6 − x) = √3/2·cosx + 1/2·sinx
И вот теперь видно самое важное:
оба выражения оказались одинаковыми.
Значит,
sin(π/3 + x) − cos(π/6 − x) = 0
Это очень удачный момент.
Правая часть уравнения просто исчезает.

После того как правая часть стала равна нулю, исходное уравнение принимает вид:
2sin³x − sin²x·cosx − 13sinx·cos²x − 6cos³x = 0
Теперь всё внимание переходит на левую часть.
Здесь уже нет формул суммы и разности.

Теперь разделим обе части уравнения на cos³x.
Сразу объясним, почему это можно сделать.
Если cosx = 0, то левая часть исходного уравнения равна:
2sin³x − sin²x·0 − 13sinx·0 − 6·0 = 2sin³x
Но при cosx = 0 имеем sinx = ±1, значит:
2sin³x = ±2 ≠ 0
Следовательно, cosx = 0 не является корнем этого уравнения.
Значит, делить на cos³x можно.
Делим каждое слагаемое:
2sin³x / cos³x − sin²x·cosx / cos³x − 13sinx·cos²x / cos³x − 6cos³x / cos³x = 0
Получаем:
2tg³x − tg²x − 13tgx − 6 = 0
Теперь введем замену:
t = tgx
Тогда уравнение примет вид:
2t³ − t² − 13t − 6 = 0

Получили уравнение:
2t³ − t² − 13t − 6 = 0
Теперь нужно найти его корни.
Как искать кореньЗдесь удобно попробовать подобрать целый корень.
Свободный член равен 6, значит возможные рациональные корни надо искать среди чисел:
±1, ±2, ±3, ±6, ±1/2, ±3/2
Пробуем подставлять.
Подставим t = −2:
2(−2)³ − (−2)² − 13(−2) − 6 =
2·(−8) − 4 + 26 − 6 =
−16 − 4 + 26 − 6 = 0
Получили 0.
Значит, t = −2 — корень.
Следовательно, многочлен делится на (t + 2).

Разделим многочлен
2t³ − t² − 13t − 6
на (t + 2).
Получаем:
2t³ − t² − 13t − 6 = (t + 2)(2t² − 5t − 3)
Теперь разложим квадратный трехчлен:
2t² − 5t − 3 = 0
Найдем дискриминант:
D = (−5)² − 4·2·(−3) = 25 + 24 = 49
√D = 7
Тогда корни:
t₁ = (5 + 7)/4 = 12/4 = 3
t₂ = (5 − 7)/4 = −2/4 = −1/2
Значит,
2t² − 5t − 3 = (t − 3)(2t + 1)
Тогда всё кубическое уравнение раскладывается так:
2t³ − t² − 13t − 6 = (t + 2)(t − 3)(2t + 1)

Мы вводили замену:
t = tgx
Значит, теперь получаем:
tgx = −2
или
tgx = 3
или
tgx = −1/2

Из уравнения tgx = a общее решение записывается так:
x = arctg(a) + πk, k ∈ Z
Поэтому:
если tgx = −2, то
x = arctg(−2) + πk = −arctg2 + πk, k ∈ Z
если tgx = 3, то
x = arctg3 + πk, k ∈ Z
если tgx = −1/2, то
x = arctg(−1/2) + πk = −arctg(1/2) + πk, k ∈ Z
Ответ к пункту а
x = −arctg2 + πk, k ∈ Z
x = arctg3 + πk, k ∈ Z
x = −arctg(1/2) + πk, k ∈ Z

Теперь нужно выбрать только те корни, которые лежат на промежутке:
[−π/2; π/2]
Все значения arctg(a) лежат именно внутри интервала
(−π/2; π/2)
поэтому при k = 0 получаем подходящие корни:
x = −arctg2
x = arctg3
x = −arctg(1/2)
Другие значения, полученные добавлением ±π, уже выйдут за пределы данного промежутка.
1) Корни вида x = arctg3 + πkНужно, чтобы выполнялось неравенство:
−π/2 ≤ arctg3 + πk ≤ π/2
Вычтем arctg3 из всех частей:
−π/2 − arctg3 ≤ πk ≤ π/2 − arctg3
Теперь важно понять, где находится число arctg3.
Так как arctg любого числа всегда лежит между −π/2 и π/2, то:
0 < arctg3 < π/2
Значит:
−π < −π/2 − arctg3 < 0
и
0 < π/2 − arctg3 < π/2
Следовательно, число πk должно лежать между −π и π:
−π < πk < π
Делим на π:
−1 < k < 1
Но k — целое число.
Единственное целое число между −1 и 1 — это 0.
Значит, подходит только:
x = arctg3
2) Корни вида x = −arctg2 + πkТребуем:
−π/2 ≤ −arctg2 + πk ≤ π/2
Прибавим arctg2:
−π/2 + arctg2 ≤ πk ≤ π/2 + arctg2
Так как:
0 < arctg2 < π/2
то:
−π/2 < −π/2 + arctg2 < 0
и
π/2 < π/2 + arctg2 < π
Значит, снова получаем:
−π < πk < π
Делим на π:
−1 < k < 1
Отсюда:
k = 0
Значит, из этой серии подходит только корень:
x = −arctg2
3) Корни вида x = −arctg(1/2) + πkТребуем:
−π/2 ≤ −arctg(1/2) + πk ≤ π/2
Прибавим arctg(1/2):
−π/2 + arctg(1/2) ≤ πk ≤ π/2 + arctg(1/2)
Так как:
0 < arctg(1/2) < π/2
то:
−π/2 < −π/2 + arctg(1/2) < 0
и
π/2 < π/2 + arctg(1/2) < π
Значит:
−π < πk < π
Делим на π:
−1 < k < 1
Следовательно:
k = 0
Значит, подходит только корень:
x = −arctg(1/2)
Ответ для промежутка [−π/2; π/2]На данном промежутке получаем три корня:
x = arctg3
x = −arctg2
x = −arctg(1/2)

Разложение на множителиРазлагаем:
2t³ − t² − 13t − 6
на множители.
Группируем:
2t³ + 4t² − 5t² − 10t − 3t − 6
Выносим общие множители:
2t²(t + 2) − 5t(t + 2) − 3(t + 2)
Выносим общий множитель:
(t + 2)(2t² − 5t − 3)
Получаем:
(t + 2)(2t² − 5t − 3) = 0
Решаем квадратное уравнение2t² − 5t − 3 = 0
Находим дискриминант:
D = (−5)² − 4·2·(−3)
D = 25 + 24 = 49
√49 = 7
Находим корни:
t = (5 ± 7)/4
Первый корень:
t₁ = (5 + 7)/4 = 12/4 = 3
Второй корень:
t₂ = (5 − 7)/4 = −2/4 = −1/2